\hypertarget{ux6570ux5b66ux5efaux6a21ux4e0eux57faux672cux539fux7406}{%
\section{数学建模与基本原理}\label{ux6570ux5b66ux5efaux6a21ux4e0eux57faux672cux539fux7406}}

\hypertarget{ux5b9aux89e3ux95eeux9898ux7684ux63d0ux51fa}{%
\subsection{定解问题的提出}\label{ux5b9aux89e3ux95eeux9898ux7684ux63d0ux51fa}}

在区域 \(G\times[0,+\infty)\)
上，由偏微分方程、初始条件、边界条件组成的定解问题称为初边值问题（混合问题）

在区域 \(G\times[0,+\infty)\)
上，由偏微分方程、初始条件组成的定解问题称为初值问题\\
此时边界很远或时间很短，边界对解的影响可以忽略

在区域 \(G\times[0,+\infty)\)
上，由偏微分方程、边界条件组成的定解问题称为边值问题，此时场与时间无关

\hypertarget{ux4e00ux822cux6982ux5ff5}{%
\subsection{一般概念}\label{ux4e00ux822cux6982ux5ff5}}

\hypertarget{ux5b9aux89e3ux95eeux9898ux7684ux9002ux5b9aux6027}{%
\subsubsection{定解问题的适定性}\label{ux5b9aux89e3ux95eeux9898ux7684ux9002ux5b9aux6027}}

定解问题的解需要有如下性质：\\
❶\ 存在性（否则为过定的）\\
❷\ 唯一性（否则为欠定的）\\
❸\ 稳定性（当定解数据有微小改变时，其解也发生微小改变）

\hypertarget{ux5bf9ux5b9aux89e3ux6761ux4ef6ux7684ux8981ux6c42}{%
\paragraph{对定解条件的要求}\label{ux5bf9ux5b9aux89e3ux6761ux4ef6ux7684ux8981ux6c42}}

初始条件的数目 ＝ 方程中对 \(t\) 的偏导次数

边界条件一般需要给定边界上点所满足的条件\\
无穷远边界不给定边界条件或采用极限给定条件\\
三种混合条件可以混合使用

齐次边界条件：在边界处某函数恒为 \(0\) 的边界条件

\hypertarget{ux504fux5faeux5206ux65b9ux7a0bux7684ux57faux672cux6982ux5ff5}{%
\paragraph{偏微分方程的基本概念}\label{ux504fux5faeux5206ux65b9ux7a0bux7684ux57faux672cux6982ux5ff5}}

偏微分方程的古典解：在给定区域具有偏微分方程中有各阶偏导数，且代入方程使之成为恒等式的函数

偏微分方程的阶数：方程中出现的偏导数的最高阶数\\
偏微分方程的线性：未知函数及其偏导数的最高幂次 \(\le 1\)

解的形式：\\
❶\ 解析解------级数解、积分解\\
❷\ 数值解------在离散点上化为差分方程求解

二阶偏微分方程的一般形式
\[
\mathrm Lu=Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_x+Eu_y+Fu=f(x,y)   
\]

式中各系数 \(A,B,\cdots\) 均仅为 \((x,y)\) 的函数

其中二阶导数部分可以写作：
\[
\begin{bmatrix}   
\dfrac{\partial}{\partial x} & \dfrac{\partial}{\partial y}   
\end{bmatrix}   
\begin{bmatrix}   
A & B\\   
B & C   
\end{bmatrix}   
\left[\begin{aligned}   
\frac{\partial }{\partial x}\\   
\frac{\partial }{\partial y}\\   
\end{aligned}\right]   
\]

当系数矩阵 \(>0\) 时为双曲型方程\\
当系数矩阵 \(=0\) 时为抛物型方程\\
当系数矩阵 \(<0\) 时为椭圆型方程

\hypertarget{ux53e0ux52a0ux539fux7406}{%
\subsection{叠加原理}\label{ux53e0ux52a0ux539fux7406}}

\hypertarget{ux53e0ux52a0ux539fux7406ux4e00}{%
\subsubsection{叠加原理一}\label{ux53e0ux52a0ux539fux7406ux4e00}}

若 \(u_i\) 满足线性方程 \(\mathrm Lu_i = f_i\)\\
则 \(u = \sum\limits_{i=1}^{n} c_iu_i\) 满足方程
\(\mathrm Lu= \sum\limits_{i=1}^nc_if_i\)

\begin{quote}
注意 \(n\) 不为 \(\infty\)，即：一般只能有限项叠加

若无穷级数 \(f = \sum\limits_{i=1}^{+\infty} \alpha_if_i\) 在区域
\(\Omega\) 内收敛，对应的解
\(u = \sum\limits_{i=1}^{+\infty} \alpha_iu_i\) 也在 \(\Omega\)
内收敛、可逐项求导/积分、相应二阶偏导数的级数在 \(\Omega\)
内一致收敛，则叠加原理对它仍然成立
\end{quote}

\hypertarget{ux53e0ux52a0ux539fux7406ux4e8c}{%
\subsubsection{叠加原理二}\label{ux53e0ux52a0ux539fux7406ux4e8c}}

对于一个具有\textbf{齐次边界条件}的问题（以下面的问题为例）
\[
\begin{cases}   
u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t), &0<x<l,t>0\\   
{\color{blue}u(0,t)=u(l,t)=0}\\   
u(x,0)=\phi(x)\\   
u_t(x,0)=\psi(x)   
\end{cases}   
\] 
它的解等于以下三个问题的解的和（\(0<x<l,\;t>0\)）
\[
\begin{cases}   
u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t)\\   
{\color{blue}u(0,t)=u(l,t)=0}\\   
u(x,0)={\color{violet}0}\\   
u_t(x,0)={\color{violet}0}   
\end{cases},\quad   
\begin{cases}   
u_{tt}-a^2u_{xx}={\color{violet}0}\\   
{\color{blue}u(0,t)=u(l,t)=0}\\   
u(x,0)=\phi(x)\\   
u_t(x,0)={\color{violet}0}   
\end{cases},\quad   
\begin{cases}   
u_{tt}-a^2u_{xx}={\color{violet}0}\\   
{\color{blue}u(0,t)=u(l,t)=0}\\   
u(x,0)={\color{violet}0}\\   
u_t(x,0)=\psi(x)   
\end{cases}   
\]

\hypertarget{ux53e0ux52a0ux539fux7406ux4e09}{%
\subsubsection{叠加原理三}\label{ux53e0ux52a0ux539fux7406ux4e09}}

对于一个具有\textbf{齐次边界条件}的问题（以下面的问题为例）
\[
\left\{
\begin{aligned}   
&u_{tt} - a^2u_{xx} = f(x,t),& 0<x<l,\;t>0\\   
&{\color{blue}u(0,t)=u(l,t)=0}\\   
&u(x,0)=\phi(x)\\   
&u_t(x,0)=\psi(x)   
\end{aligned}   
\right.
\]

若
\[
\begin{aligned}   
f(x,t) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty}f_n(x,t),\quad   
\varphi(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\varphi_n(x),\quad\psi(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\psi_n(x)\\   
\end{aligned}   
\]

则上面问题的解为以下问题的解的叠加（\(n=1,2,3,\cdots\)）
\[
\begin{cases}   
u_{tt} - a^2u_{xx} = f_{\color{violet}n}(x,t),& 0<x<l,\;t>0\\   
{\color{blue}u(0,t)=u(l,t)=0}\\   
u(x,0)=\phi_{\color{violet}n}(x)\\   
u_t(x,0)=\psi_{\color{violet}n}(x)   
\end{cases}   
\]

\hypertarget{ux8fb9ux754cux6761ux4ef6ux9f50ux6b21ux5316}{%
\subsection{边界条件齐次化}\label{ux8fb9ux754cux6761ux4ef6ux9f50ux6b21ux5316}}

假定 \(u(x,t)\) 满足非齐次边界条件
\[
u(0,t) = \mu(t),\quad u(l,t) = \gamma(t)   
\]

使用叠加原理，将 \(u\) 的非齐次边界条件化为另一未知函数的齐次边界条件

令 \(u(x,t) = v(x,t)+w(x,t)\)，其中函数 \(v(x,t)\)
满足齐次边界条件，则：
\[
\begin{aligned}   
u(0,t) &= 0+w(0,t)=\mu(t)\\   
u(l,t) &= 0+w(l,t)=\gamma(t)   
\end{aligned}   
\]

不妨选取
\[
w(x,t) = A(t)\cdot x+B(t)   
\]

可以解得 \(w(x,t)\) 的解析式

此时，将 \(u=v+w\) 代入原定解问题，化简得到关于 \(v(x,t)\) 的定解问题\\
求解关于 \(v(x,t)\) 的具有齐次边界条件的偏微分方程\\
则原问题的解即为 \(w=v+w\)

\begin{quote}
如果 \(u(x,t)\) 满足的非齐次边界条件是
\[
u_x(0,t) = \mu(t),\quad u_x(l,t) = \gamma(t)   
\]

则可以设 \(w(x,t) = A(t)\cdot x^2+B(t)\cdot x\)
\[
\begin{aligned}   
u_x(0,t) &= 0+2A(t)\cdot 0+B(t) = \mu(t)\\   
u_x(l,t) &= 0+2A(t)\cdot l+B(t) = \gamma(t)   
\end{aligned}   
\]
\end{quote}

\hypertarget{ux5206ux79bbux53d8ux91cfux6cd5}{%
\section{分离变量法}\label{ux5206ux79bbux53d8ux91cfux6cd5}}

先以一维波动方程为例：对于如下定解问题

\[
\begin{cases}   
u_{tt}-a^2u_{xx}=0, & 0<x<l,\;t>0\\   
{\color{blue}u(0,t)=u(l,t)=0}, & t>0\\   
u(x,0)=\varphi(x), &0\le x\le l\\   
u_t(x,0)=\psi(x), &0\le x\le l   
\end{cases}   
\]

假定 \(u(x,t) = X(x)T(t)\)，原方程可化为：
\[
X(x)T''(t) - a^2X''(x)T(t) = 0   
\]

分离变量发现方程两边为不同参数的函数，故两边均为常数
\[
\frac{X''(x)}{X(x)} = \frac1{a^2}\frac{T''(t)}{T(t)} = -\lambda   
\]

得到
\[
\begin{aligned}   
X''(x)+\lambda X(x)=0\\   
T''(t)+a^2\lambda T(t) = 0   
\end{aligned}   
\]

\begin{quote}
并不是所有的 \(\lambda\in \mathbb R\) 都可行。能使方程有解的 \(\lambda\)
是它的特征值，对应的特征函数应当能线性叠加出原方程的解。
\end{quote}

定解问题的边值部分转化为
\[
\left\{\begin{aligned}   
&X''(x)+\lambda X(x)=0, &0\le x\le l \\   
&X(0) =0\\   
&X(l) = 0 \\   
\end{aligned}\right.\tag{1}   
\]

定解问题的初值部分转化为
\[
\left\{\begin{aligned}   
&T''(t)+a^2\lambda T(t)=0, &t>0 \\   
&X(x)T(0)=\varphi(x), &0\le x\le l \\   
&X(x)T'(0)=\psi(x), &0\le x\le l\\   
\end{aligned}\right.\tag{2}   
\]

其中 \((1)\) 式具有\textbf{齐次定解条件}。

如 \((1)\) 所示的问题为特征值问题，解决后将 \(\lambda\) 代入 \((2)\)
式，则 \((2)\) 式成为普通的常微分方程定解问题

\hypertarget{ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898}{%
\subsection{特征值问题}\label{ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898}}

\hypertarget{ux6709ux9f50ux6b21ux8fb9ux754cux6761ux4ef6ux7684ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898}{%
\subsubsection{有齐次边界条件的特征值问题}\label{ux6709ux9f50ux6b21ux8fb9ux754cux6761ux4ef6ux7684ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898}}

通过分别考虑各种情况，可以综合得到如下定理：\\
二阶线性微分算子 \(\mathrm L=-\dfrac{\mathrm d^2}{\mathrm dx^2}\)
的特征值问题
\[
\left\{\begin{aligned}   
&X''(x)+\lambda X(x)=0\\   
&X^{(k)}(0)={\color{red}0}\\   
&X^{(m)}(l)={\color{red}0}   
\end{aligned}\right.   
\]

其中 \(\{m,k\}\subseteq \{0,1\}\)\\
则该问题的特征值非负，且满足
\[
0\le\lambda_1<\lambda_2<\cdots\to+\infty   
\]

相应的特征函数系在 \([\,0,l\,]\) 正交

对于任意在 \([\,0,l\,]\) 上分段光滑的函数 \(f(x)\) 可按特征函数系展开为
Fourier 级数
\[
f(x) = \sum_{n}^\infty f_n X_n(x)\\   
f_n=\int_0^lf(x)X_n(x)\,\mathrm dx\bigg/\int_0^lX_n^2(x)\,\mathrm dx   
\]

特征值与特征函数系具体形式如下：

\textbf{❶\ 特征值的具体形式}\\
若两个边界条件一个为第一类，一个为第二类：
\[
\lambda_n=\left[\dfrac{(2n+1)\pi}{2l}\right]^2,\quad n=0,1,2,3,\cdots   
\]

若两个边界条件均为第一类
\[
\lambda_n=\left(\dfrac{n\pi}{l}\right)^2,\quad n=1,2,3,\cdots   
\]

若两个边界条件均为第二类
\[
\lambda_n=\left( \frac{n\pi}{l} \right)^2,\quad n={\color{red}0},1,2,3,\cdots   
\]

\textbf{❷\ 特征函数的具体形式}\\
若 \(x=0\) 处边界条件为第一类
\[
X_n(x)=\sin \sqrt{\lambda_n}x   
\]

若 \(x=0\) 处边界条件为第二类
\[
X_n(x) = \cos\sqrt{\lambda_n}x   
\]

\textbf{❸\ 特征函数的性质}\\
对于有其次边界条件的特征值问题，其特征函数系具有\textbf{正交性}\\
可以证明，四种情况下的特征函数的模方均满足：
\[
    \int_0^l X_n^2(x)\,\mathrm dx = \frac{l}{2}
\]

四种情况的特征函数系均具有\textbf{完备性}\\
对于任意函数 $f(x)$ 可以表示为
\[
    f(x) = \sum_{n=n_0}^{+\infty} f_n\cdot X_n(x) 
    \qquad\Longrightarrow\qquad
    f_n = \frac{\displaystyle\int_{0}^l f(x) X_n(x)\,\mathrm dx }{\displaystyle\int_0^lX_n^2(x)\,\mathrm dx} = \frac2{l}\int_{0}^l f(x) X_n(x)\,\mathrm dx
\]


\begin{quote}
证明 \(\lambda\ge0\)：两侧同乘 \(X(x)\) 并积分
\[
\int_0^lX''(x)X(x)\,\mathrm dx+\lambda\int_0^lX^2(x)\,\mathrm > dx=0   
\]

分部积分
\[
X'X\Big|_0^l-\int_0^l(X')^2\,\mathrm dx + \lambda \int_0^lX^2\,\mathrm dx=0   
\]

只要边界条件为一型或二型齐次边界条件，第一项为 \(0\)\\
可得 \(\lambda\ge 0\)
\end{quote}

\hypertarget{ux4e3eux4f8bux6709ux9f50ux6b21ux8fb9ux754cux6761ux4ef6ux7684ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898ux6c42ux89e3}{%
\paragraph{举例：有齐次边界条件的特征值问题求解}\label{ux4e3eux4f8bux6709ux9f50ux6b21ux8fb9ux754cux6761ux4ef6ux7684ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898ux6c42ux89e3}}

\[
\left\{\begin{aligned}   
&X''(x)+\lambda X(x)=0, &0<x<l \\   
&X^{(m)}(0) =0\\   
&X(l) = 0 \\   
\end{aligned}\right.   
\]

❶\ 假定 \(\lambda<0\)，则通解
\(X(x) = C_1\exp({\sqrt{-\lambda}x})+C_2\exp({-\sqrt{-\lambda}x})\)\\
在边值条件 \(X(0)=X(l)=0\) 下有：\(C_1=C_2=0\)，只有零解，不符合

❷\ 假定 \(\lambda=0\)，则通解 \(X(x) = C_1+C_2x\)\\
在边值条件 \(X(0)=X(l)=0\) 下有：\(C_1=C_2=0\)，只有零解，不符合

❸\ 假定 \(\lambda>0\)，通解
\(X(x)=C_1\cos\sqrt{\lambda}x+C_2\sin\sqrt{\lambda}x\)\\
由边值条件 \(X(0)=X(l)=0\) 得到
\[
\left\{\begin{aligned}   
&C_1=0 \\   
&C_2\sin\left(\sqrt{\lambda}\cdot l\right)=0   
\end{aligned}\right.   
\]

令 \(C_2\ne 0\) 得到 \(\sin\left(\sqrt{\lambda}\cdot l\right)=0\)
\[
\lambda=\dfrac{n^2\pi^2}{l^2},\quad n\in \mathbb Z   
\]

由于只关心 \(\sqrt{n^2}\)，限制 \(n\ge 0\)\\
由于 \(X(x)\) 不恒为 \(0\)，限制 \(n\ne 0\)

故：
\[
\begin{aligned}   
&\lambda_n=\frac{n^2\pi^2}{l^2},&n=1,2,3,\cdots\\   
&X_n(x)=C_n\sin\left(\dfrac{n\pi}{l}x\right), &n=1,2,3,\cdots   
\end{aligned}   
\]

此函数系在 \([0,l]\) 上正交

\hypertarget{ux6709ux5468ux671fux6027ux8fb9ux754cux6761ux4ef6ux7684ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898}{%
\subsubsection{有周期性边界条件的特征值问题}\label{ux6709ux5468ux671fux6027ux8fb9ux754cux6761ux4ef6ux7684ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898}}

\[
    \begin{aligned}
        \Phi''(\theta)+\lambda\Phi(\theta)&=0,\quad 0\le\theta\le2\pi \\   
        \Phi(0)&=\Phi(2\pi) \\   
        \Phi'(0)&=\Phi'(2\pi)  
    \end{aligned} 
\]

❶ \(\lambda<0\) 通解
\(\Phi(\theta)=C_1\exp({\sqrt{-\lambda}\theta})+C_2\exp({-\sqrt{-\lambda}\theta})\)\\
代入边界条件得到 \(\Phi(\theta)=0\)，只有零解，舍去

❷ \(\lambda=0\) 通解 \(\Phi(\theta)=C_1+C_2\theta\)\\
代入边界条件得到 \(\Phi(\theta)=C_1\)，可以取特征函数 \(\Phi(\theta)=1\)

❸ \(\lambda>0\) 通解
\(\Phi(\theta)= C_1\cos \sqrt{\lambda} \theta + C_2\sin \sqrt{\lambda} \theta\)\\
代入边界条件得到：
\[
\left\{\begin{array}{l}   
C_{1}[1-\cos (2 \pi \sqrt{\lambda})]-C_{2} \sin (2 \pi \sqrt{\lambda})=0 \\   
C_{1} \sin (2 \pi \sqrt{\lambda})+C_{2}[1-\cos (2 \pi \sqrt{\lambda})]=0   
\end{array}\right.   
\]

若要 \(C_1,C_2\) 有非零解，需要系数行列式为 \(0\)\\
解得 \(\lambda=n^2,\quad n=1,2,3,\cdots\)\\
此时方程组已变为 \(0=0\) 恒等式，\(C_1,C_2\) 为任意值

得到：
\[
\begin{cases}   
\lambda=n^2,\quad n=1,2,3,\cdots\\   
\Phi(\theta)= C_1\cos n\theta+C_2 \sin n\theta   
\end{cases}   
\]

综上：具有周期性边界条件的特征值问题\\
特征值 \(\lambda=n^2,\quad n=0,1,2,3,\cdots\)\\
\(n\ge 1\) 的每个特征值对应两个线性无关的特征函数
\[
\begin{aligned}
\Phi_{n1}(\theta)&=\cos n\theta\\   
\Phi_{n2}(\theta)&=\sin n\theta\\   
\end{aligned}
\]

特征值 \(\lambda=0\) 只有一个特征函数
\[
\Phi_0(\theta)=1
\]

\hypertarget{ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898ux603bux7ed3}{%
\subsubsection{特征值问题总结}\label{ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898ux603bux7ed3}}

\begin{longtable}{cccc}
\toprule
\begin{minipage}[b]{0.27\columnwidth}\raggedright
特征值问题\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{0.22\columnwidth}\raggedright
特征值 \(\lambda_n\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{0.27\columnwidth}\raggedright
特征函数 \(X_n(x)\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[b]{0.13\columnwidth}\raggedright
\(n\) 取值\strut
\end{minipage}\tabularnewline
\midrule
\endhead
\begin{minipage}[t]{0.27\columnwidth}\raggedright
\(\begin{cases}X''(x)+\lambda X(x)=0\\X(0)=X(l)=0\end{cases}\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.22\columnwidth}\raggedright
\(\lambda_n=\left(\dfrac{n\pi}{l}\right)^2\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.27\columnwidth}\raggedright
\(\sin\dfrac{n\pi}{l}x\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.13\columnwidth}\raggedright
\(n=1,2,3,\cdots\)\strut
\end{minipage}\tabularnewline
\begin{minipage}[t]{0.27\columnwidth}\raggedright
\(\begin{cases}X''(x)+\lambda X(x)=0\\X'(0)=X(l)=0\end{cases}\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.22\columnwidth}\raggedright
\(\lambda_n=\left[\dfrac{(2n+1)\pi}{2l}\right]^2\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.27\columnwidth}\raggedright
\(\cos \dfrac{(2n+1)\pi}{2l}x\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.13\columnwidth}\raggedright
\(n=0,1,2,\cdots\)\strut
\end{minipage}\tabularnewline
\begin{minipage}[t]{0.27\columnwidth}\raggedright
\(\begin{cases}X''(x)+\lambda X(x)=0\\X(0)=X'(l)=0\end{cases}\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.22\columnwidth}\raggedright
\(\lambda_n=\left[\dfrac{(2n+1)\pi}{2l}\right]^2\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.27\columnwidth}\raggedright
\(\sin\dfrac{(2n+1)\pi}{2l}x\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.13\columnwidth}\raggedright
\(n=0,1,2,\cdots\)\strut
\end{minipage}\tabularnewline
\begin{minipage}[t]{0.27\columnwidth}\raggedright
\(\begin{cases}X''(x)+\lambda X(x)=0\\X'(0)=X'(l)=0\end{cases}\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.22\columnwidth}\raggedright
\(\lambda_n=\left(\dfrac{n\pi}{l}\right)^2\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.27\columnwidth}\raggedright
\(\cos\dfrac{n\pi}{l}x\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.13\columnwidth}\raggedright
\(n={\color{red}0},1,2,\cdots\)\strut
\end{minipage}\tabularnewline
\begin{minipage}[t]{0.27\columnwidth}\raggedright
\(\begin{cases}\Phi''(x)+\lambda \Phi(x)=0\\\Phi(0)=\Phi(2\pi)\end{cases}\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.22\columnwidth}\raggedright
\(\lambda_n=n^2\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.27\columnwidth}\raggedright
\(\left\{\begin{aligned}\cos n\theta\\\sin n\theta\end{aligned}\right\}\)\strut
\end{minipage} & \begin{minipage}[t]{0.13\columnwidth}\raggedright
\(n={\color{red}0},1,2,\cdots\)\strut
\end{minipage}\tabularnewline
\bottomrule
\end{longtable}

\hypertarget{ux539fux95eeux9898ux7684ux5269ux4f59ux90e8ux5206}{%
\subsection{原问题的剩余部分}\label{ux539fux95eeux9898ux7684ux5269ux4f59ux90e8ux5206}}

\[
\left\{\begin{aligned}   
&T''(t)+a^2\lambda T(t)=0, &t>0 \\   
&X(x)T(0)=\varphi(x), &0\le x\le l \\   
&X(x)T'(0)=\psi(x), &0\le x\le l\\   
\end{aligned}\right.\tag{2}   
\]

由于 \(\lambda=\lambda_n\) 有无穷多个离散取值，\((2)\) 式分裂为：
\[
T''_n(t)+a^2\lambda_nT_n(t)=0   
\]

原问题的解 \(u(x,t)=X(x)T(t)\) 应当可以用所有分量 \(X_n(x)T_n(X)\)
线性表示\\
线性组合的系数与 \(T_n(t)\) 合并
\[
u(x,t) = \sum_n^{+\infty}X_n(x)T_n(t)   
\]

因此初始条件为：
\[
\left\{\begin{aligned}   
\sum_n^{+\infty}X_n(x)T_n(0) = \varphi(x) \\   
\sum_n^{+\infty}X_n(x)T_n'(0)=\psi(x)   
\end{aligned}\right.   
\]

下面对此问题进行求解：

\textbf{❶\ 求通解}\\
若 \(\lambda_n>0\)，此时 \(T''_n(t)+a^2\lambda_nT_n(t)=0\) 的通解：
\[
T_n(t) = A_n\cos\left(\sqrt{\lambda_n}at\right) + B_n\sin\left(\sqrt{\lambda_n}at\right),\quad \lambda_n\ne 0   
\]

对于两个边界条件均为第二类齐次边界条件的情况：\\
\(\lambda_0=0\)，此时 \(T''_0(t)+a^2\lambda_0T_0(t)=0\) 的通解：
\[
T_0(t)=A_n+B_nt   
\]

原问题的通解：
\[
u(x,t) = \sum_n^{+\infty} T_n(t)X_n(x)   
\]

\textbf{❷\ 初值问题定解}\\
初始条件：
\[
\begin{aligned}   
u(x,0)&=\sum_nT_n(0)X_n(x)=\varphi(x)\\   
u_t(x,0)&=\sum_nT_n'(0)X_n(x)=\psi(x)   
\end{aligned}   
\]

根据特征值问题的定理，可将 \(\varphi(x),\psi(x)\) 以 \(X_n(x)\)
为基展开，傅里叶系数 \(\varphi_n,\psi_n\) 用以下方式求得：
\[
\varphi_n=\int_0^l \varphi(x)X_n(x)\,\mathrm dx\bigg/\int_0^lX_n^2(x)\,\mathrm dx   
\]

因此
\[
\begin{aligned}   
\sum_n^{+\infty}T_n(0)X_n(x)=\sum_n^{+\infty}\varphi_nX_n(x)\\   
\sum_n^{+\infty}T_n'(0)X_n(x)=\sum_n^{+\infty}\psi_nX_n(x)   
\end{aligned}   
\]

待定系数法得到 \(T_n\) 满足的初始条件
\[
\begin{aligned}   
T_n(0)=\varphi_n\\   
T_n'(0)=\psi_n   
\end{aligned}   
\]

据此可定解 \(T_n(t)\)，进而得到原问题的形式解
\[
u(x,t)=\sum_n^{+\infty}T_n(t)X_n(x)   
\]

\hypertarget{ux975eux9f50ux6b21ux95eeux9898ux7684ux5206ux79bbux53d8ux91cfux6cd5}{%
\subsection{非齐次问题的分离变量法}\label{ux975eux9f50ux6b21ux95eeux9898ux7684ux5206ux79bbux53d8ux91cfux6cd5}}

对于边界条件齐次化了的非齐次波动方程
\[
\begin{cases}   
u_{tt} - a^2u_{xx} = f(x,t),& 0<x<l,\;t>0\\   
{\color{blue}u(0,t)=u(l,t)=0}, &t \ge 0\\   
u(x,0)=\phi(x), &0\le x\le l\\   
u_t(x,0)=\psi(x), &0\le x\le l\\   
\end{cases}   
\]

考虑到它对应的齐次方程的特征值问题的特征函数系 \(X_n(x)\)
是正交完备的，任何 \(f(x,t)\) 可以以 \(X_n(x)\)
为基进行傅里叶展开。可以得到：
\[
\begin{aligned}   
&X_n''(x)+\lambda_nX_n(x)=0 \\   
&X_n(0)=X_n(l)=0   
\end{aligned}   
\]

\[
\begin{matrix}   
u(x,t) = \displaystyle\sum_n^{+\infty}T_n(t)X_n(x), &    
\phi(x)=\displaystyle\sum_n^{+\infty}\phi_nX_n(x)\\   
f(x,t)=\displaystyle\sum_{n}^{+\infty}f_n(t)X_n(x), &    
\displaystyle\psi(x)=\sum_n^{+\infty}\psi_nX_n(x)\\   
\end{matrix}   
\]

原问题转化为：
\[
\left\{\begin{aligned}   
&\sum_n^{+\infty}\left[T_n''(t)+a^2\lambda_nT(t)\right]X_n(x)=\sum_n^{+\infty}f_n(t)X_n(x)\\   
&\sum_n^{+\infty}T_n(0)X_n(x) = \sum_n^{+\infty}\phi_nX_n(x)\\   
&\sum_n^{+\infty}T_n'(0)X_n(x) = \sum_n^{+\infty}\psi_nX_n(x)   
\end{aligned}\right.   
\]

即：
\[
\left\{\begin{aligned}   
&T_n''(t)+a^2\lambda_nT(t)=f_n(t)\\   
&T_n(0)=\phi_n\\   
&T_n'(0) = \psi_n   
\end{aligned}\right.   
\]

这是一个二阶线性非齐次常微分方程，分解为齐次方程的通解与非齐次方程的特解\\
最终得到原问题的形式解：
\[
u(x,t)=\sum_n^{+\infty} T_n(t)X_n(x)   
\]

\hypertarget{ux4e00ux7ef4ux70edux4f20ux5bfcux65b9ux7a0bux7684ux5206ux79bbux53d8ux91cfux89e3ux6cd5}{%
\subsection{一维热传导方程的分离变量解法}\label{ux4e00ux7ef4ux70edux4f20ux5bfcux65b9ux7a0bux7684ux5206ux79bbux53d8ux91cfux89e3ux6cd5}}

一维齐次热传导方程
\[
u_t-a^2u_{xx}=0   
\]

分离变量
\[
\frac{T'(t)}{a^2T(t)}=\dfrac{X''(x)}{X(x)}=\lambda   
\]

因此，一维热传导问题也可以分解为特征值问题与普通常微分方程的定解问题

之后的步骤是相似的，不同之处在于关于 \(T(t)\) 的常微分方程变为一阶

\hypertarget{ux5706ux5f62ux57dfux4e0aux6ccaux677eux65b9ux7a0bux7684ux5206ux79bbux53d8ux91cfux89e3ux6cd5}{%
\subsection{圆形域上泊松方程的分离变量解法}\label{ux5706ux5f62ux57dfux4e0aux6ccaux677eux65b9ux7a0bux7684ux5206ux79bbux53d8ux91cfux89e3ux6cd5}}

为简化边界条件，将泊松方程转化到极坐标系
\[
\left\{\begin{aligned}   
&\color{blue}\frac{\partial ^2 u}{\partial \rho^2}+\frac1\rho\frac{\partial u}{\partial \rho}+\frac1{\rho^2}\frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}=0\\   
&u(\rho_0,\theta)=f(\theta)\\   
&|u(0,\theta)|<+\infty\\   
&u(\rho,\theta+2\pi)=u(\rho,\theta)   
\end{aligned}\right.   
\]

分离变量
\[
u(\rho,\theta)=R(\rho)\Phi(\theta)   
\]

原方程转化为
\[
R''\Phi+\frac1\rho R'\Phi+\frac{1}{\rho^2}R\Phi''=0   
\qquad\Longrightarrow\qquad   
\frac{\rho^2R''(\rho)+\rho R'(\rho)}{R(\rho)} = -\frac{\Phi''(\theta)}{\Phi(\theta)}=\lambda   
\]

问题分解为以下两部分：

\hypertarget{ux6709ux5468ux671fux6027ux8fb9ux754cux6761ux4ef6ux7684ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898-1}{%
\subsubsection{有周期性边界条件的特征值问题}\label{ux6709ux5468ux671fux6027ux8fb9ux754cux6761ux4ef6ux7684ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898-1}}

\[
\begin{cases}   
\Phi''(\theta)+\lambda\Phi(\theta)=0, &0\le\theta\le2\pi \\   
\Phi(0)=\Phi(2\pi) \\   
\Phi'(0)=\Phi'(2\pi)   
\end{cases}   
\]

特征值 \(\lambda_n=n^2,\quad n=0,1,2,3,\cdots\)\\
特征函数
\[
\begin{aligned}   
&\Phi_0(\theta)=1 \\   
&\Phi_n(\theta)=\{\cos n\theta,\sin n\theta \},&n=1,2,3,\cdots   
\end{aligned}   
\]

\hypertarget{ux6b27ux62c9ux65b9ux7a0bux5b9aux89e3ux95eeux9898}{%
\subsubsection{欧拉方程定解问题}\label{ux6b27ux62c9ux65b9ux7a0bux5b9aux89e3ux95eeux9898}}

\[
\left\{\begin{aligned}   
&\rho^2R''(\rho)+\rho R'(\rho)-\lambda R(\rho)=0\\   
&|R(0)|<+\infty   
\end{aligned}\right.   
\]

变量替换 \(\rho=\mathrm e^s,s=\ln\rho\)
\[
\begin{aligned}   
\frac{\mathrm dR}{\mathrm ds} &= \rho\frac{\mathrm dR}{\mathrm d\rho}\\   
\frac{\mathrm d^2R}{\mathrm ds^2} &=\rho\frac{\mathrm dR}{\mathrm d\rho}+\rho^2\frac{\mathrm d^2R}{\mathrm d\rho^2}   
\end{aligned}   
\]

欧拉方程转化为：
\[
\frac{\mathrm d^2R}{\mathrm ds^2}-\lambda R=0   
\]

对于 \(n=0,\;\lambda_0=0\)
\[
R_0= c_0+d_0s=c_0+d_0\ln \rho   
\]

对于 \(n\ge 1,\;\lambda_n=n^2>0\)
\[
R_n=c_n\mathrm e^{ns}+d_n\mathrm e^{-ns}=c_n\rho^n+d_n\rho^{-n}   
\]

自然边界条件：
\(|R(0,\theta)|<+\infty \;\;\Longrightarrow \;\; d_n=0\)\\
因此有：
\[
R_n(\rho)=c_n\rho^n,\quad n=0,1,2,\cdots   
\]

\hypertarget{ux539fux65b9ux7a0bux7684ux89e3}{%
\subsubsection{原方程的解}\label{ux539fux65b9ux7a0bux7684ux89e3}}

\[
\left\{\begin{aligned}   
&u(\rho,\theta)=\sum_{n=0}^{+\infty}R_n(\rho)\Phi_n(\theta)\\   
&u(\rho_0,\theta)=f(\theta)   
\end{aligned}\right.   
\]

线性叠加
\[
u(\rho,\theta)=a_0c_0+\sum_{n=1}^{+\infty}c_n\rho^n(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta)   
\]

常数合并
\[
u(\rho,\theta)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}\rho^n(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta)   
\]

将边界条件 \(f(\theta)\) 傅里叶级数展开
\[
f(\theta)=f_{a0}+\sum_{n=1}^{+\infty}(f_{an}\cos n\theta+ f_{bn}\sin n\theta)   
\]

因此边界条件转化为
\[
\begin{aligned}   
a_0&=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(\theta)\,\mathrm d\theta\\   
\rho_0^na_n&=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(\theta)\cos n\theta\,\mathrm d\theta\\   
\rho_0^nb_n&=\frac1\pi\int_0^{2\pi}f(\theta)\sin n\theta\,\mathrm d\theta   
\end{aligned}   
\]

经过化简得到
\[
u(\rho,\theta)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{(\rho_0^2-\rho^2)\cdot u(\rho_0,\varphi)}{\rho_0^2+\rho^2-2\rho_0\rho\cos(\theta-\varphi)}\,\mathrm d\varphi   
\]

称为泊松核函数，也可以从复变函数柯西积分公式导出

\hypertarget{ux8d1dux585eux5c14ux51fdux6570}{%
\section{贝塞尔函数}\label{ux8d1dux585eux5c14ux51fdux6570}}

\hypertarget{ux9884ux5907ux77e5ux8bc6}{%
\subsection{预备知识}\label{ux9884ux5907ux77e5ux8bc6}}

\hypertarget{ux53d8ux7cfbux6570ux7ebfux6027ux5e38ux5faeux5206ux65b9ux7a0bux7684ux5e42ux7ea7ux6570ux89e3ux6cd5}{%
\subsubsection{变系数线性常微分方程的幂级数解法}\label{ux53d8ux7cfbux6570ux7ebfux6027ux5e38ux5faeux5206ux65b9ux7a0bux7684ux5e42ux7ea7ux6570ux89e3ux6cd5}}

\[
y''+p(z)y'+q(z)y=0   
\]

如果 \(p(z),q(z)\) 在
\(\big\{z\big|z\in \mathbb R,|z-z_0|<\delta\big\}\) 解析，则方程的解在
\(z_0\) 的邻域内可表示为：
\[
y(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n   
\]

若 \(z_0\) 最多为 \(p(z),q(z)\) 的一级和二级极点，则在去心邻域
\(\big\{z\in \mathbb R\;\big|\;0<|z-z_0|<\delta\big\}\)
内方程有如下级数解：
\[
y(z)=(z-z_0)^\xi\sum_{n=0}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n   
\]

其中 \(a_n,\xi\in \mathbb R\) 为常数，可用待定系数法得到

\hypertarget{gamma-ux51fdux6570}{%
    \subsubsection{\textrm{Γ}函数}\label{gamma-ux51fdux6570}}

\(\Gamma\) 函数在 \(\alpha>0\) 上的定义：
\[
\Gamma(\alpha)=\int_0^{+\infty}\mathrm e^{-t}t^{\alpha-1}\,\mathrm dt   
\]

基本性质：
\begin{enum}
\item \(\Gamma(1)=1,\;\Gamma(1/2)=\sqrt\pi\)
\item \(\Gamma(x+1)=x\Gamma(x),\;x>0\)
\item \(\Gamma(n)=(n-1)!\) 对自然数为阶乘
\item \(\Gamma(n+1/2)=\dfrac{(2n-1)!!}{2^{n}}\sqrt{\pi}\)
\item \(\Gamma(x)\ne 0\)，其中 \(\Gamma(x)\) 的定义域使用性质❷推广到\(\mathbb R\)
\item \(\Gamma(x)\) 在负整数处的极限为 \(\infty\)，约定\(\Gamma(-n)=\infty\)
\item \(\Gamma(x)\) 在 \((0,+\infty)\) 二阶连续可导，在 \((1,2)\) 出现唯一极小值
\end{enum}
其图像如图 \ref{fig:Gamma函数图像} 所示

\begin{figure}[h]
    \centering
    \begin{tikzpicture}
        \begin{axis}[
            xmin = -6, xmax = 6, 
            restrict y to domain=-6:6,
            axis lines = middle,
            axis line style={-latex},  
            axis equal,
            xlabel={$x$}, 
            ylabel={$y$},
            enlarge y limits=0.05,
            x label style={at={(ticklabel* cs:1.00)}, inner sep=5pt, anchor=north},
            y label style={at={(ticklabel* cs:1.00)}, inner sep=2pt, anchor=south east},
            width=12cm 
            ]
            \addplot[color=blue,thick, samples=222, smooth, 
            domain = 0:5] gnuplot{gamma(x)};
            
            \foreach[evaluate={\N=\n-1}] \n in {0,...,-4}{%
            \addplot[color=blue, thick, samples=555, smooth,  
            domain = \n:\N] gnuplot{gamma(x)};
            \addplot [domain=-5:5, samples=2, gray,densely dashed, thin] (\N, x);
            }
        \end{axis}
    \end{tikzpicture}
    \caption{$\Gamma$ 函数图像}
    \label{fig:Gamma函数图像}
\end{figure}


\hypertarget{ux95eeux9898ux5f15ux51fa}{%
\subsection{问题引出}\label{ux95eeux9898ux5f15ux51fa}}

半径为 \(R\) 的薄圆盘，初始温度分布已知，边界温度控制恒定为
\(0\)，求温度分布随时间变化关系
\[
\left\{\begin{aligned}   
&\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\left(\frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right), & \rho<R\\   
&u\big|_{t=0}=\varphi(x,y)\\   
&u\big|_{\rho=R}=0   
\end{aligned}\right.   
\]

时空分离 \(u(x,y,z)=V(x,y)T(t)\)

\[
\frac{T'}{a^2T}=\frac{V_{xx}+V_{yy}}{V}=-\lambda   
\]

得到两个微分方程：

❶\ 关于时间 \(t\) 的常微分方程
\[
T'(t)+\lambda a^2T(t)=0   
\qquad\Longrightarrow\qquad   
T(t)=   A\mathrm e^{-\lambda a^2t}   
\]

❷\ 亥姆霍兹方程 Helmholtz
\[
\left\{\begin{aligned}   
&\frac{\partial^2V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\lambda V=0\\   
&V\big|_{x^2+y^2=\rho_0^2} = 0   
\end{aligned}\right.   
\]

转化为极坐标系
\[
\left\{\begin{aligned}   
&V_{\rho\rho}+\frac1\rho V_\rho+\frac1{\rho^2}V_{\theta\theta}+\lambda V = 0\\   
&V\big|_{\rho=\rho_0}=0   
\end{aligned}\right.   
\]

再次分离变量 \(V(\rho,\theta)=R(\rho)\Phi(\theta)\)，得到两个常微分方程

\[
\left\{
\begin{aligned}
&\Phi''(\theta)+\mu\Phi(\theta)=0\\
&\rho^2R''(\rho)+\rho R'(\rho)+(\lambda \rho^2-\mu)R(\rho)=0\\
\end{aligned}
\right.
\]

上述问题转化为以下两个问题：

❶ 具有周期性边界条件的特征值问题，其解为：
\[
\left\{\begin{aligned}   
&\mu_n=n^2,& n=0,1,2,\cdots\\   
&\Phi_0=1\\   
&\Phi_n(\theta)=a_n\sin n\theta+ b_n\cos n\theta,&n=1,2,3,\cdots   
\end{aligned}\right.   
\]

❷ \(n\) 阶贝塞尔方程定解问题
\[
\left\{\begin{aligned}   
&\rho^2R''+\rho R'+(\lambda \rho^2-n^2)R=0\\   
&R(\rho_0)=0\\   
&|R(0)|<+\infty   
\end{aligned}\right.   
\]

先判断 \(\lambda\) 的正负：两边乘 \(R\) 在 \(0\to \rho_0\) 积分，得到
\[
\lambda=\frac{\displaystyle\int_0^{\rho_0}\big[\rho(R')^2+n^2R^2/\rho\big]\,\mathrm d\rho}{\displaystyle\int_{0}^{\rho_0}\rho R^2\,\mathrm d\rho}\ge 0   
\]

当 \(\lambda=0\) 时，化为欧拉方程，通解：
\[
R(\rho)=A\rho^n+B\rho^{-n}   
\]

代入边界条件得到 \(R(\rho)=0\)，舍去。因此：\(\lambda>0\)

在 \(\lambda>0\) 的条件下可以做变量代换：
\[
\left\{\begin{aligned}   
&x=\sqrt\lambda \rho,\\   
&y(x)=R(x/\sqrt\lambda)=R(\rho)   
\end{aligned}\right.   
\]

得到 \(n\) 阶贝塞尔方程的常见形式：
\[
x^2 y''(x)+xy'(x)+(x^2-n^2)y(x)=0   
\]

它的解就是贝塞尔函数

\hypertarget{ux8d1dux585eux5c14ux65b9ux7a0bux6c42ux89e3}{%
\subsection{贝塞尔方程求解}\label{ux8d1dux585eux5c14ux65b9ux7a0bux6c42ux89e3}}

\hypertarget{ux6784ux9020ux7ea7ux6570ux901aux89e3}{%
\subsubsection{构造级数通解}\label{ux6784ux9020ux7ea7ux6570ux901aux89e3}}

贝塞尔方程如下，式中 \(n\in \mathbb R,\;n\ge 0\)：
\[
\boxed{   
x^2\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2}+x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+(x^2-n^2)y=0   
}   
\]

转化为变系数线性常微分方程标准形式：
\[
y(x)+\frac{x}{x^2}y'(x)+\frac{x^2-n^2}{x^2}y(x)=0   
\]

级数解：
\[
\begin{aligned}   
y(x)&=\sum_{k=0}^{+\infty}a_kx^{\xi+k}\\   
y'(x)&=\sum_{k=0}^{+\infty}(\xi+k)a_kx^{\xi+k-1}\\   
y''(x)&=\sum_{k=0}^{+\infty}(\xi+k)(\rho+k-1)a_kx^{\xi+k-2}   
\end{aligned}   
\]

原方程转化为：
\[
\begin{aligned}   
&\sum_{k=0}^{+\infty}\Big[(\xi+k)(\xi+k-1)+(\xi+k)+(x^2-n^2)\Big]a_kx^{\xi+k}\\   
=\;&(\xi^2-n^2)a_0x^\xi+\big[(\xi+1)^2-n^2\big]a_1x^{\xi+1}+\sum_{k=2}^{+\infty}\Big[\big[(\xi+k)^2-n^2\big]a_k+a_{k-2}\Big]x^{\xi+k}\\   
=\;&0   
\end{aligned}   
\]

待定系数法：
\[
\begin{aligned}   
(\xi^2-n^2)a_0&=0\\   
\big[(\xi+1)^2-n^2\big]a_1&=0\\   
\big[(\xi+k)^2-n^2\big]a_k+a_{k-2}&=0,&k=2,3,4,\cdots   
\end{aligned}   
\]

\hypertarget{ux6784ux9020ux7279ux89e3ux8d1dux585eux5c14ux51fdux6570}{%
\subsubsection{构造特解：贝塞尔函数}\label{ux6784ux9020ux7279ux89e3ux8d1dux585eux5c14ux51fdux6570}}

为求特解，可以假定 \(a_0\ne 0\)，则 \(\xi=\pm n\)，暂取
\(\xi=n\)，代入其他两式得到：
\[
\begin{aligned}   
a_0&\ne 0\\   
a_1&=0\\   
a_k&=-\frac{a_{k-2}}{k(2n+k)},& k=2,3,4,\cdots   
\end{aligned}   
\]

递推得到：
\[
\begin{aligned}   
&a_{2k+1}=0,&k=0,1,2,\cdots\\   
&a_{2k}=\frac{(-1)^kn!}{2^{2k}k!\,(n+k)!}a_0,&k=0,1,2,\cdots   
\end{aligned}   
\]

为求特解，取 \(a_0=\dfrac{1}{2^n\Gamma(n+1)}\)，则：
\[
a_{2m}=(-1)^k\frac1{2^{n+2k}k!}\frac{1}{\Gamma(n+k+1)},\quad k\ge 0   
\]

得到特解：
\[
\begin{aligned}   
J_n(x)&=\sum_{k=0}^{+\infty} (-1)^k\frac1{2^{n+2k}k!}\frac{1}{\Gamma(n+k+1)}x^{n+2k}\\   
&=\left(\frac{x}{2}\right)^n\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(n+k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}   
\end{aligned}   
\]

其中 \(n\ge 0\)，收敛半径 \(+\infty\)\\
\(J_n(x)\) 称为 \(n\) 阶第一类贝塞尔函数，图像如图 \ref{fig:第一类贝塞尔函数图像} 所示
\begin{figure}[h]
    \centering 
    \includegraphics[width=12cm]{Bessel_Functions_FirstKind.pdf}
    \caption{第一类贝塞尔函数图像}
    \label{fig:第一类贝塞尔函数图像}
\end{figure}

以上是在 \(\xi=\pm n\) 中取 \(\xi=n\) 得到的。现在取 \(\xi=-n\)
同样可以得到：
\[
J_{-n}(x)=\left(\frac{x}{2}\right)^{-n}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!\,\Gamma(-n+k+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}   
\]

在 \(n\) 不为整数时，\(J_n(0)=0,\;J_{-n}(0)=\infty\)，因此 \(J_n(x)\) 与
\(J_{-n}(x)\) 线性无关\\
此时贝塞尔方程的通解：
\[
y(x)=AJ_n(x)+BJ_{-n}(x)   
\]

在 \(n\) 为整数时，二者线性相关
\[
J_{-n}(x)=(-1)^nJ_n(x),\quad n\in \mathbb Z   
\]

需要另外构造一个特解：令 \(0<n<r<n+1\)，则 \(J_r(x),\;J_{-r}(x)\)
线性无关
\[
\begin{aligned}   
N_n(x)&=\lim_{r\to n^+} N_r(x)\\   
&=\lim_{r\to n^+}\frac{J_{r}(x) \cos r \pi-J_{-r}(x)}{\sin r \pi}\\   
&=\frac{1}{\pi} \lim _{r \rightarrow n^{+}}\left[(-1)^{n} \frac{\partial J_{r}(x)}{\partial r}-\frac{\partial J_{-r}(x)}{\partial r}\right]   
\end{aligned}   
\]

可以证明， \(N_n(x)\) 是原方程的特解。\(N_n(x)\) 称为 \(n\)
阶第二类贝塞尔函数，图像如下如图 \ref{fig:第二类贝塞尔函数图像} 所示
\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=12cm]{Bessel_Functions_SecondKind.pdf}
    \caption{第二类贝塞尔函数图像} 
    \label{fig:第二类贝塞尔函数图像}
\end{figure}

\hypertarget{ux603bux7ed3ux8d1dux585eux5c14ux65b9ux7a0bux6c42ux89e3ux7ed3ux679c}{%
\subsubsection{总结：贝塞尔方程求解结果}\label{ux603bux7ed3ux8d1dux585eux5c14ux65b9ux7a0bux6c42ux89e3ux7ed3ux679c}}

对于任意 \(n\in\mathbb R\)，对于 \(n\) 阶贝塞尔方程：
\[
x^2y''(x)+xy'(x)+(x^2-n^2)y(x)=0   
\]

通解：
\[
y(x)=AJ_n(x)+BN_n(x)   
\]

对于 \(n\not\in \mathbb Z\)，\(n\) 阶贝塞尔方程的通解也可表示为：
\[
y(x)=AJ_n(x)+BJ_{-n}(x)   
\]

\hypertarget{ux8d1dux585eux5c14ux51fdux6570ux7684ux6027ux8d28}{%
\subsection{贝塞尔函数的性质}\label{ux8d1dux585eux5c14ux51fdux6570ux7684ux6027ux8d28}}

两类贝塞尔函数在关于 $y$ 轴对称的区域上的图像如图 \ref{fig:两类贝塞尔函数图像} 所示

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=16cm]{./a3454e6946ad6a52a79dcfd9c5aeb9e6f7d79139.jpg}
    \caption{两类贝塞尔函数图像}
    \label{fig:两类贝塞尔函数图像}
\end{figure}

\hypertarget{ux6709ux754cux6027}{%
\subsubsection{有界性}\label{ux6709ux754cux6027}}

\[
 \begin{aligned}   
 |J_n(x)|&<+\infty,&  x\in\mathbb R\\   
 |N_n(x)|&<+\infty,& x\ne 0\\   
 N_n(0)&=\infty   
 \end{aligned}   
\]

\hypertarget{ux5947ux5076ux6027}{%
\subsubsection{奇偶性}\label{ux5947ux5076ux6027}}

若 \(n\in \mathbb N\)，则：
\[
    \begin{aligned}
        J_n(x)&=(-1)^n\cdot J_n(-x)\\   
        N_n(x)&=(-1)^n\cdot N_n(-x)   
    \end{aligned}
\]

\hypertarget{ux9012ux63a8ux516cux5f0f}{%
\subsubsection{递推公式}\label{ux9012ux63a8ux516cux5f0f}}

下述所有递推公式对第二类贝塞尔函数 \(N_n(x)\) 同样成立
\[
\boxed{   
\begin{aligned}   
&\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\big[x^nJ_n(x)\big]=x^nJ_{n-1}(x)\\   
&\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\big[x^{-n}J_n(x)\big]=-x^{-n}J_{n+1}(x)   
\end{aligned}   
}   
\]

上述两式展开，可以用 \(J_n(x)\) 来表示 \(J_{n-1}(x)\) 或
\(J_{n+1}(x)\)
\[
\boxed{   
\begin{aligned}   
xJ'_n(x)+nJ_n(x)&=xJ_{n-1}(x)\\   
xJ'_n(x)-nJ_n(x)&=-xJ_{n+1}(x)   
\end{aligned}   
}   
\]

上述两式相加减，得 \(J_n(x)\) 与相邻两项的关系
\[
\boxed{   
\begin{aligned}   
J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)&=\frac{2n}{x}J_n(x)\\   
J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)&=2J'_n(x)   
\end{aligned}   
}   
\]

特殊
\[
J_0'(x)=-J_1(x)=J_{-1}(x)   
\]

\hypertarget{x-0-ux5904ux7684ux53d6ux503c}{%
    \subsubsection{{\rmfamily\itshape x} = 0 处的取值}\label{x-0-ux5904ux7684ux53d6ux503c}}

\[
\left\{\begin{aligned}   
J_0(0)&=1\\   
J_n(0)&=0,&n\ne 0\\   
N_n(0)&=\infty,&n\in \mathbb N   
\end{aligned}\right.   
\]

由递推公式可以得到：
\[
\left\{\begin{aligned}   
J_n'(0)&=0,&n\ne 1\\   
J_1'(0)&=1/2   
\end{aligned}\right.   
\]

\hypertarget{ux96f6ux70b9ux5206ux5e03}{%
\subsubsection{零点分布}\label{ux96f6ux70b9ux5206ux5e03}}

用 \(\mu_m^{(n)}\) 表示 \(J_n(x)\) 的第 \(m\)
个正零点，\(m=1,2,3,\cdots\)

❶\ \(J_n(x)\) 有无穷多个对称分布的零点\\
❷\ 除 \(x=0\) 外，其它零点都是 \(J_n(x)\) 的一级零点\\
❸\ \(x=0\) 是 \(n\ge 1\) 的 \(J_n(x)\) 的 \(n\) 级零点\\
❹\ 对于 \(J_n(x)\)，其零点趋于周期性出现：
\[
\lim\limits_{m\to\infty}\left[\mu_{m+1}^{(0)}-\mu_{m}^{(0)}\right]=\pi   
\]

\hypertarget{ux534aux5947ux6570ux9636ux8d1dux585eux5c14ux51fdux6570}{%
\subsubsection{半奇数阶贝塞尔函数}\label{ux534aux5947ux6570ux9636ux8d1dux585eux5c14ux51fdux6570}}

半奇数阶贝塞尔函数可以表示为初等函数表示

利用以下两条性质：
\[
\Gamma\left(m+\frac12\right)=\frac{(2m-1)!!\sqrt\pi}{2^m},\qquad   
\Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt \pi   
\] 可以得到：
\[
\begin{aligned}   
J_{1/2}(x)   
&= \left(\frac{x}{2}\right)^{1/2}\cdot\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!\;\Gamma(k+3/2)}\frac{x^{2k}}{2^{2k}}\\   
&= \sqrt{\frac{x}{2}}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!\;\dfrac{(2k+1)!!}{2^{k+1}}\sqrt{\pi}}\frac{x^{2k}}{2^{2k}}\\   
&= \sqrt{\frac{2x}{\pi}}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2^k\,k!\;(2k+1)!!}x^{2k}\\   
&= \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}\\   
&= \sqrt{\frac{2}{\pi x}}\sin x   
\end{aligned}   
\]

\hypertarget{ux8d1dux585eux5c14ux65b9ux7a0bux7684ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898}{%
\subsection{贝塞尔方程的特征值问题}\label{ux8d1dux585eux5c14ux65b9ux7a0bux7684ux7279ux5f81ux503cux95eeux9898}}

对极坐标下的拉普拉斯算子的特征值问题 \(-\nabla^2 R=\lambda R\)
进行变量分离可得到如下定解问题，它可转化为贝塞尔方程求解，因而称之为贝塞尔方程的特征值问题。

假定有第一类齐次边界条件
\[
\left\{\begin{aligned}   
&\rho^2R''+\rho R'+(\lambda \rho^2-n^2)R=0\\   
&{\color{blue}R(\rho_0)=0}\\   
&|R(0)|<+\infty   
\end{aligned}\right.   
\]

此时 \(n\) 为非负整数。约定 \(\mu_m^{(n)}\) 是 \(J_n(x)\) 的第 \(m\)
个正零点，\(m\ge1\)

❶\ 特征值与特征函数：

\[
\left\{\begin{aligned}   
&\lambda_m^{(n)}=\left(\frac{\mu_m^{(n)}}{\rho_0}\right)^2{\color{red}>0}\\   
&R_m(\rho)=J_n\!\!\left(\sqrt{\lambda_m^{(n)}}\cdot\rho\right),\quad m\ge 1   
\end{aligned}\right.   
\]

❷\ 特征函数系 \(\big\{R_m(\rho)\big\}\) 关于权重 \(\rho\) 正交，且可以计算其模方
\[
\int_0^{\rho_0}\rho R_m(\rho)R_k(\rho)\,\mathrm d\rho=   
\begin{cases}   
\dfrac{\rho_0^2}{2}\left[J'_n\left(\mu_m^{(n)}\right)\right]^2,&m= k\\\\   
\,0,&m \ne k   
\end{cases}   
\]

❸\ 特征函数系 \(\big\{R_m(\rho)\big\}\) 是完备的\\
设 \(f(\rho)\) 在 \([0,\rho_0]\) 连续，且具有分段连续的一阶导数，则
\(f(\rho)\) 可以展开成傅立叶贝塞尔级数：
\[
f(\rho)=\sum_{m=1}^{+\infty}A_mR_m(\rho)=\sum_{m=1}^{+\infty}A_mJ_n\!\!\left(\sqrt{\lambda_m^{(n)}}\cdot\rho\right),   
\]

其系数为：
\[
\boxed{   
A_m   
=\frac{\displaystyle\int_0^{\rho_0}\rho f(\rho)R_m(\rho)\,\mathrm d\rho}{\displaystyle\int_0^{\rho_0}\rho R_m^2(\rho)\,\mathrm d\rho}   
=\frac{\displaystyle\int_0^{\rho_0}\!\!\!\rho f(\rho)R_m(\rho)\,\mathrm d\rho}{\dfrac{\rho_0^2}{2}\left[J'_n\left(\mu_m^{(n)}\right)\right]^2}   
}   
\]


\begin{quote}
将 \(f(\rho)\) 展开式两边同时乘以 \(\rho R_m(\rho)\) 并对 \(\rho\)
积分即可得到 \(A_m\) 计算式
\end{quote}

完整证明过程如下，其中部分是之前出现过的

\hypertarget{ux8d1dux585eux5c14ux65b9ux7a0bux7279ux5f81ux503cux95eeux9898ux6c42ux89e3ux8be6ux7ec6ux8fc7ux7a0b}{%
\subsubsection{贝塞尔方程特征值问题求解详细过程}\label{ux8d1dux585eux5c14ux65b9ux7a0bux7279ux5f81ux503cux95eeux9898ux6c42ux89e3ux8be6ux7ec6ux8fc7ux7a0b}}

\[
\left\{\begin{aligned}   
&\rho^2R''+\rho R'+(\lambda \rho^2-n^2)R=0\\   
&{\color{blue}R(\rho_0)=0}\\   
&|R(0)|<+\infty   
\end{aligned}\right.   
\]

\hypertarget{ux7b2cux4e00ux6b65ux53d8ux91cfux4ee3ux6362ux8f6cux5316ux4e3aux8d1dux585eux5c14ux65b9ux7a0bux6807ux51c6ux5f62ux5f0f}{%
\paragraph{第一步：变量代换，转化为贝塞尔方程标准形式}\label{ux7b2cux4e00ux6b65ux53d8ux91cfux4ee3ux6362ux8f6cux5316ux4e3aux8d1dux585eux5c14ux65b9ux7a0bux6807ux51c6ux5f62ux5f0f}}

要进行变量代换 \(x=\sqrt{\lambda}\rho\)，先证明 \(\lambda>0\)：\\
方程转化为
\[
(\rho R')'+\left(\lambda \rho-\frac{n^2}\rho\right)R=0   
\]

上式乘以 \(R\) 再对 \(\rho\) 积分
\[
\begin{aligned}   
&\int_0^{\rho_0} R\,\mathrm d(\rho R')+\int_0^{\rho_0}\left(\lambda\rho-\frac{n^2}{\rho}\right)R^2\,\mathrm d\rho=0\\   
&(\rho RR')\Big|_{\rho=0}^{\rho=\rho_0}-\int_0^{\rho_0}\rho(R')^2\,\mathrm d\rho+\lambda\int_0^{\rho_0}\rho R^2\,\mathrm d\rho-\int_0^{\rho_0}\frac{n^2}{\rho}R^2\,\mathrm d\rho=0    
\end{aligned}   
\]

在齐次边界条件下，上式第一项为 \(0\)。考虑到 \(R\not \equiv0\)：
\[
\lambda=\frac{\int_0^{\rho_0}\big[\rho(R')^2+n^2R^2/\rho\big]\,\mathrm d\rho}{\int_{0}^{\rho_0}\rho R^2\,\mathrm d\rho}> 0   
\]

因此可以做以下变量代换：
\[
x=\sqrt{\lambda}\rho,\quad y(x)=R(\sqrt \lambda x)=R(\rho)   
\]

原方程转化为标准贝塞尔方程
\[
x^2y''(x)+xy(x)+(x^2-n^2)\cdot y(x)=0   
\]

\hypertarget{ux7b2cux4e8cux6b65ux6c42ux7279ux5f81ux503cux4e0eux7279ux5f81ux51fdux6570}{%
\paragraph{第二步：求特征值与特征函数}\label{ux7b2cux4e8cux6b65ux6c42ux7279ux5f81ux503cux4e0eux7279ux5f81ux51fdux6570}}

由贝塞尔方程通解得到原方程通解
\[
R(\rho)=C_1J_n(\sqrt\lambda\rho)+C_2N_n(\sqrt\lambda \rho)   
\]

由于 \(|R(0)|<+\infty\) 得到 \(C_2=0\)\\
由于 \(R(\rho_0)=0\) 得到 \(J_n(\sqrt\lambda\rho_0)=0\)\\
因此得到特征值与特征函数 \((m\ge 1)\) ：
\[
\begin{aligned}   
&\lambda_m^{(n)}=\left(\mu_m^{(n)}\Big/\rho_0\right)^2\\   
&R_m(\rho)=J_n\!\!\left(\sqrt{\lambda_m^{(n)}}\rho\right)   
\end{aligned}   
\qquad m=1,2,3,\cdots   
\]

\hypertarget{ux7b2cux4e09ux6b65ux8bc1ux660eux7279ux5f81ux51fdux6570ux7cfbux7684ux5173ux4e8eux6743ux51fdux6570-rho-ux7684ux6b63ux4ea4ux6027}{%
\paragraph{\texorpdfstring{第三步：证明特征函数系的关于权函数 \(\rho\)
的正交性}{第三步：证明特征函数系的关于权函数 \textbackslash rho 的正交性}}\label{ux7b2cux4e09ux6b65ux8bc1ux660eux7279ux5f81ux51fdux6570ux7cfbux7684ux5173ux4e8eux6743ux51fdux6570-rho-ux7684ux6b63ux4ea4ux6027}}

假定 \(i\ne j\) 则：
\[
\begin{aligned}   
&(\rho R_i')'+(\lambda_i\rho-n^2/\rho)R_i=0\\   
&(\rho R_j')'+(\lambda_j\rho-n^2/\rho)R_j=0\\   
\end{aligned}   
\]

第一式乘以 \(R_j\)，第二式乘以 \(R_i\)，做差、积分
\[
\int_0^{\rho_0}R_j\,\mathrm d(\rho R_i') - \int_0^{\rho_0}R_i\,\mathrm d(\rho R_j') +\int_0^{\rho_0}(\lambda_i-\lambda_j)R_iR_j\rho\,\mathrm d\rho=0   
\]

对前两项进行分部积分，相互抵消为 \(0\)\\
考虑到 \(i\ne j\) 时 \(\lambda_i\ne\lambda_j\)，原式转化为：
\[
\int_0^{\rho_0}\rho R_i(\rho)R_j(\rho)\,\mathrm d\rho=0   
\]

特征函数关于权函数 \(\rho\) 的正交性得证

\hypertarget{ux7b2cux56dbux6b65ux6c42ux7279ux5f81ux51fdux6570ux7cfbux5173ux4e8eux6743ux51fdux6570-rho-ux7684ux6a21ux65b9}{%
\paragraph{\texorpdfstring{第四步：求特征函数系关于权函数 \(\rho\)
的模方}{第四步：求特征函数系关于权函数 \textbackslash rho 的模方}}\label{ux7b2cux56dbux6b65ux6c42ux7279ux5f81ux51fdux6570ux7cfbux5173ux4e8eux6743ux51fdux6570-rho-ux7684ux6a21ux65b9}}

取 \(\alpha_m=\sqrt{\lambda_m}\)，取 \(|\alpha-\alpha_m|\ll 1\)\\
令 \(R_m(\rho)=J_n(\alpha_m \rho),\;R(\rho)=J(\alpha\rho)\)\\
进行变量代换后可以验证：
\[
\begin{aligned}   
&\left\{\begin{aligned}   
&\rho^2R_m''+\rho R_m'+(\alpha^2_m \rho^2-n^2)R_m=0\\   
&{\color{blue}R_m(\rho_0)=0},\quad|R_m(0)|<+\infty   
\end{aligned}\right.\\   
&\left\{\begin{aligned}   
&\rho^2R''+\rho R'+(\alpha^2 \rho^2-n^2)R=0\\   
&{\color{blue}R(\rho_0)\ne0},\quad|R(0)|<+\infty   
\end{aligned}\right.   
\end{aligned}   
\]

第一式乘以 \(R\)，第二式乘以 \(R_m\)，做差、积分
\[
\int_0^{\rho_0}R\,\mathrm d(\rho R_m') - \int_0^{\rho_0}R_m\,\mathrm d(\rho R') +\int_0^{\rho_0}(\alpha_m^2-\alpha^2)\rho R_mR\,\mathrm d\rho=0   
\]

前两项分部积分，注意 \(R\) 不满足齐次边界条件：
\[
\rho_0R(\rho_0)R_m'(\rho_0)+\int_0^{\rho_0}(\alpha_m^2-\alpha^2)\rho R_mR\,\mathrm d\rho=0   
\]

因此
\[
\begin{aligned}   
\int_0^{\rho_0}\rho R_mR\,\mathrm d\rho   
&=\frac{\rho_0R(\rho_0)R_m'(\rho_0)}{\alpha^2-\alpha_m^2}\\   
&=\frac{\rho_0\alpha_mJ_n'(\rho_0\alpha_m)\cdot J_n(\rho_0\alpha)}{\alpha^2-\alpha_m^2}   
\end{aligned}   
\]

取极限，洛必达法则
\[
\begin{aligned}   
\int_0^{\rho_0}\rho R_m^2(\rho)\,\mathrm d\rho   
&=\lim_{\alpha\to\alpha_m}\int_0^{\rho_0}\rho R_mR\,\mathrm d\rho\\   
&=\lim_{\alpha\to\alpha_m}\frac{\rho_0\alpha_mJ_n'(\rho_0\alpha_m)\cdot J_n(\rho_0\alpha)}{\alpha^2-\alpha_m^2}\\   
&=\lim_{\alpha\to\alpha_m}\frac{\rho_0^2\alpha_mJ_n'(\rho_0\alpha_m)\cdot J_n'(\rho_0\alpha)}{2\alpha}\\   
&=\frac{\rho_0^2}{2}\big[J_n'(\rho_0\alpha_m)\big]^2\\   
&=\frac{\rho_0^2}{2}\left[J'_n(\mu_m^{(n)})\right]^2   
\end{aligned}   
\]

\hypertarget{ux683cux6797ux51fdux6570ux6cd5}{%
\section{格林函数法}\label{ux683cux6797ux51fdux6570ux6cd5}}

\hypertarget{ux9884ux5907ux77e5ux8bc6-1}{%
\subsection{预备知识}\label{ux9884ux5907ux77e5ux8bc6-1}}

\hypertarget{ux5355ux4f4dux8109ux51b2ux51fdux6570}{%
\subsubsection{单位脉冲函数}\label{ux5355ux4f4dux8109ux51b2ux51fdux6570}}

单位脉冲函数 \(\delta (t)\)
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-x_0)f(x)\,\mathrm dx=f(x_0)   
\]

卷积性质
\[
\delta (x)*f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x-\xi)f(\xi)\,\mathrm d\xi=f(x)   
\]

格林函数法的基本思想：将连续源视为点源的叠加
\[
f(M)=\delta (M_0)*f(M)=\int \delta(M-M_0)f(M)\,\mathrm dM_0   
\]

\hypertarget{ux62c9ux666eux62c9ux65afux65b9ux7a0bux7684ux57faux672cux89e3}{%
\subsubsection{拉普拉斯方程的基本解}\label{ux62c9ux666eux62c9ux65afux65b9ux7a0bux7684ux57faux672cux89e3}}

\hypertarget{ux4e09ux7ef4ux62c9ux666eux62c9ux65afux65b9ux7a0bux57faux672cux89e3}{%
\paragraph{三维拉普拉斯方程基本解}\label{ux4e09ux7ef4ux62c9ux666eux62c9ux65afux65b9ux7a0bux57faux672cux89e3}}

设 \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) 是 \(\Omega\) 中任选的定点，\(P=(x,y,z)\) 是
\(\Omega\) 中的动点

以下问题的解称为三维 Laplace 方程的基本解
\[
-\nabla^2 u=\delta (P-P_0)   
\]

其中 \(\delta(P-P_0)\) 是三维狄拉克函数：
\[
\delta(P-P_0)=\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)\delta(z-z_0)   
\]

可以从物理上得到三维 Laplace 方程的一个基本解：
\[
\boxed{   
\varGamma(P,P_0)=\frac{1}{4\pi r}   
}   
\]

其中 \(r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}\)

由 \(\delta\) 函数的性质，一定有：
\[
\nabla^2\varGamma(P,P_0)=0,\quad P\ne P_0   
\]

\hypertarget{ux4e8cux7ef4ux62c9ux666eux62c9ux65afux65b9ux7a0bux57faux672cux89e3}{%
\paragraph{二维拉普拉斯方程基本解}\label{ux4e8cux7ef4ux62c9ux666eux62c9ux65afux65b9ux7a0bux57faux672cux89e3}}

同理，二维 Laplace 方程的基本解：
\[
\boxed{   
\varGamma(P,P_0)=\frac1{2\pi}\ln\frac1{r}   
}   
\]

其中 \(r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\)

\hypertarget{ux683cux6797ux516cux5f0f}{%
\subsection{格林公式}\label{ux683cux6797ux516cux5f0f}}

\hypertarget{ux9ad8ux65afux516cux5f0f}{%
\subsubsection{高斯公式}\label{ux9ad8ux65afux516cux5f0f}}

区域 \(\Omega \in \mathbb R^3\)，其边界 \(\partial \Omega\)
充分光滑，单位外法向量
\(\boldsymbol n=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)\)\\
关于 \((x,y,z)\) 的函数 \(\boldsymbol F=(P,Q,R)\) 的各分量在
\(\bar\Omega\) 上有一阶连续导数，则有如下高斯公式：
\[
\begin{aligned}   
\iiint_{\Omega}\left[\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right]\mathrm dV   
&=\oiint_{\partial \Omega}\big(P\,\mathrm dy\land\mathrm dz+Q\,\mathrm dz\land\mathrm dx+R\,\mathrm dx\land\mathrm dy\big)\\   
&=\oiint_{\partial \Omega}\big(P\cos\alpha\,\mathrm dy\,\mathrm dz+Q\cos\beta\,\mathrm dz\,\mathrm dx+R\cos\gamma\,\mathrm dx\,\mathrm dy\big)   
\end{aligned}   
\]

或写为：
\[
\iiint_{\Omega} \boldsymbol \nabla\cdot \boldsymbol F\,\mathrm dV=\oiint_{\partial \Omega}\boldsymbol F\cdot \mathrm d\boldsymbol S   
\]

\hypertarget{ux7b2cux4e00ux683cux6797ux516cux5f0f}{%
\subsubsection{第一格林公式}\label{ux7b2cux4e00ux683cux6797ux516cux5f0f}}

设 \(u(x,y,z),v(x,y,z)\) 在闭区域 \(\bar \Omega\) 有二阶连续偏导数\\
在高斯公式中令 \(\boldsymbol F=u\boldsymbol\nabla v\)
\[
\begin{aligned}   
\iiint_{\Omega}\boldsymbol \nabla\cdot (u\boldsymbol\nabla v)\,\mathrm dV&=\oiint_{\partial \Omega}u\boldsymbol\nabla v\cdot \mathrm d\boldsymbol S\\   
\iiint_{\Omega}(\boldsymbol\nabla u\cdot\boldsymbol \nabla v+u\nabla^2v)\,\mathrm dV&= \oiint_{\partial \Omega}u\frac{\partial v}{\partial \boldsymbol n}\,\mathrm dS   
\end{aligned}   
\]

移项得到第一格林公式：
\[
\boxed{   
\begin{aligned}   
\iiint_{\Omega}u\nabla^2v\,\mathrm dV=\oiint_{\partial \Omega}u\frac{\partial v}{\partial \boldsymbol n}\,\mathrm dS-\iiint_{\Omega}\boldsymbol\nabla u  \cdot\boldsymbol \nabla v\,\mathrm dV\\   
\end{aligned}   
}   
\]

\hypertarget{ux7b2cux4e8cux683cux6797ux516cux5f0f}{%
\subsubsection{第二格林公式}\label{ux7b2cux4e8cux683cux6797ux516cux5f0f}}

将第一格林公式中 \(u,v\) 相互调换：
\[
\iiint_{\Omega}v\nabla^2u\,\mathrm dV=\oiint_{\partial \Omega}v\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol n}\,\mathrm dS-\iiint_{\Omega}\boldsymbol\nabla v  \cdot \boldsymbol\nabla u\,\mathrm dV   
\]

两式相减得到第二格林公式：
\[
\boxed{   
\iiint_\Omega \left(u\nabla^2v-v\nabla^2u\right)\mathrm dV=\oiint_{\partial \Omega}\left(u\frac{\partial v}{\partial \boldsymbol n}-v\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol n}\right)\mathrm dS   
}   
\]

\hypertarget{ux7b2cux4e09ux683cux6797ux516cux5f0f}{%
\subsubsection{第三格林公式}\label{ux7b2cux4e09ux683cux6797ux516cux5f0f}}

设 \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) 是 \(\Omega\) 中任选的定点，\(P=(x,y,z)\) 是
\(\Omega\) 中的任意动点\\
在第二格林公式中令 \(v\) 取三维 Laplace 方程的基本解：
\[
v=\varGamma(P,P_0)=\dfrac{1}{4\pi r_{P,P_0}}   
\]

取 \(\bar B=\big\{P\,\big|\,|P-P_0|\le r_0\big\}\)，取
\(G=\Omega/\bar B\)，则 \(\partial G=\partial \Omega\cup\partial B\)\\
则 \(P\in G\) 时有：\(\nabla^2v = \nabla^2\varGamma(x,y,z)=0\)\\
在第二格林公式中用 \(G\) 取代 \(\Omega\)，令
\(v=\varGamma(P,P_0)\)，则：
\[
\begin{aligned}   
-\iiint_{G}\varGamma\,\nabla^2u\,\mathrm dV   
&=\oiint_{\partial G}\left[u\frac{\partial \varGamma}{\partial \boldsymbol n}-\varGamma\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol n}\right]\mathrm dS\\   
&=\oiint_{\partial \Omega}\left[u\frac{\partial \varGamma}{\partial \boldsymbol n}-\varGamma\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol n}\right]\mathrm dS+\oiint_{\partial B}\left[u\frac{\partial \varGamma}{\partial \boldsymbol n}-\varGamma\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol n}\right]\mathrm dS   
\end{aligned}   
\]

在球面 \(\partial B\) 上 \(\boldsymbol n\) 的方向与 \(\boldsymbol r\)
的方向相反
\[
\frac{\partial \varGamma}{\partial \boldsymbol n}\bigg|_{\partial B}=-\frac{\partial \varGamma}{\partial r}\bigg|_{r=r_0}=\frac{1}{4\pi r_0^2}   
\]

由中值定理，存在 \((\bar x,\bar y,\bar z)\in \partial B\) 使得：
\[
\begin{aligned}   
\oiint_{\partial B}u\frac{\partial \varGamma}{\partial \boldsymbol n}\,\mathrm dS   
&=\frac{1}{4\pi r_0^2}\oiint_{\partial B}u\,\mathrm dS   
=u(\bar x_1,\bar y_1,\bar z_1)\\   
\oiint_{\partial B}\varGamma\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol n}\,\mathrm dS   
&=\frac1{4\pi r_0}\oiint_{\partial B}\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol n}\,\mathrm dS   
=r_0\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol n}\bigg|_{(\bar x_2,\bar y_2,\bar z_2)}   
\end{aligned}   
\]

令 \(r_0\to 0\)，则 \((\bar x_1,\bar y_1,\bar z_1)\to P_0\)，那么：
\[
\begin{aligned}   
\oiint_{\partial B}u\frac{\partial \varGamma}{\partial \boldsymbol n}\,\mathrm dS &\to u(x_0,y_0,z_0)\\   
\oiint_{\partial B}\varGamma\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol n}\,\mathrm dS &\to 0   
\end{aligned}   
\]

此时有
\[
\begin{aligned}   
-\iiint_{G}\varGamma\,\nabla^2u\,\mathrm dV   
&=\oiint_{\partial \Omega}\left[u\frac{\partial \varGamma}{\partial \boldsymbol n}-\varGamma\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol n}\right]\mathrm dS+u(x_0,y_0,z_0)-0   
\end{aligned}   
\]

移项，得到第三格林公式：
\[
\boxed{   
u(x_0,y_0,z_0)=\oiint_{\partial \Omega}\left[\varGamma\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol n}-u\frac{\partial \varGamma}{\partial \boldsymbol n}\right]\mathrm dS-\iiint_{\Omega}\varGamma\,\nabla^2u\,\mathrm dV   
}   
\]

\hypertarget{ux683cux6797ux51fdux6570}{%
\subsection{格林函数}\label{ux683cux6797ux51fdux6570}}

对于给定三维 Laplace 方程
\[
-\nabla^2u(x,y,z)=f(x,y,z),\quad (x,y,z)\in \Omega   
\]

格林第三公式中体积分总是确定的，可以计算。\\
给定第一类或第二类定解条件时，第三格林公式中面积分的一项确定(可计算)，另一项未知(不可计算)。

若 \(\varGamma\) 函数具有良好的性质使未知项为 \(0\)，则
\((x_0,y_0,z_0)\) 取遍 \(\Omega\) 中所有点就可以确定 \(u\)\\
为达成此目的，取函数 \(h\) 使得 \(\nabla^2h=0\)，根据第二格林公式：
\[
\oiint_{\partial \Omega}\left[h\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol n}-u\frac{\partial h}{\partial \boldsymbol n}\right]\mathrm dS-\iiint_{\Omega}h\,\nabla^2u\,\mathrm dV=\iiint_{\Omega}-u\nabla^2h\,\mathrm dV=0   
\] 上式与第三格林公式叠加，记 \(G=\varGamma+h\)，则：
\[
u(x_0,y_0,z_0)=\oiint_{\partial \Omega}\left[G\frac{\partial u}{\partial \boldsymbol n}-u\frac{\partial G}{\partial \boldsymbol n}\right]\mathrm dS-\iiint_{\Omega}G\,\nabla^2u\,\mathrm dV   
\] 依所需令 \(h\) 在 \(\partial \Omega\) 上取 \(h=-\varGamma\) 或
\(h=-\dfrac{\partial \varGamma}{\partial \boldsymbol n}\) 就可以满足要求

函数 \(h\) 无需求解，直接求解格林函数 \(G\) 即可：\\
❶\ 若给定 \(u\) 的第一类边界条件，就需要求解下边的定解问题
\[
\left\{\begin{aligned}   
&-\!\nabla^2G=\delta(P-P_0),&P\in \Omega\\   
&G\big|_{\partial \Omega}=0   
\end{aligned}\right.   
\]

❷\ 若给定 \(u\) 的第二类边界条件，就需要求解下边的定解问题
\[
\left\{\begin{aligned}   
&-\!\nabla^2G=\delta(P-P_0),&P\in \Omega\\   
&\frac{\partial G}{\partial \boldsymbol n}\bigg|_{\partial \Omega}=0   
\end{aligned}\right.   
\]

前者具有明确的物理意义，可在物理学中得到解

\hypertarget{ux7279ux6b8aux533aux57dfux4e0aux683cux6797ux51fdux6570ux7684ux6c42ux6cd5}{%
\subsection{特殊区域上格林函数的求法}\label{ux7279ux6b8aux533aux57dfux4e0aux683cux6797ux51fdux6570ux7684ux6c42ux6cd5}}

\[
\left\{\begin{aligned}   
&-\!\nabla^2G=\delta(P-P_0),&P\in \Omega\\   
&G\big|_{\partial \Omega}=0   
\end{aligned}\right.   
\]

\hypertarget{ux7269ux7406ux610fux4e49}{%
\subsubsection{物理意义}\label{ux7269ux7406ux610fux4e49}}

\(G\) 表示电势，\(\boldsymbol \nabla G\)
表示电场强度向量，\(\nabla^2G=\boldsymbol\nabla\cdot \boldsymbol \nabla G\)
为电场强度的散度，也就是电荷分布

高斯定理：若 \(\rho\) 为电荷分布密度，则
\[
\oiint \boldsymbol E\cdot \mathrm d\boldsymbol S=\frac{1}{\varepsilon}\iiint\rho\,\mathrm dV   
\]

也就是说：
\[
\nabla^2 G=\rho/\varepsilon   
\]

略去物理常数 \(\varepsilon\) 则可以看出：
\begin{enum}
    \item \(\nabla^2 G=-\delta(P-P_0)\) 表示在区域 \(\Omega\) 内的 \(P_0\) 点处有电荷量为 \(-1\) 的点电荷
    \item \(G\big|_{\partial \Omega}=0\) 表示在 \(\partial \Omega\) 曲面上电势为\(0\)
    \item 可以在 \(\Omega\) 区域外任意放置电荷，使它们与 \(P_0\) 点电荷叠加产生的电势场在 \(\partial \Omega\) 上为 \(0\)
    \item 任意点 \(P_1\) 上的点电荷在空间内产生的电势分布即为基本解 \(\varGamma(P,P_1)\)
    \item 将所有电荷的电势场叠加得到 \(\Omega\) 内的电势分布函数 \(G\)
\end{enum}

\hypertarget{ux534aux7a7aux95f4ux7684ux683cux6797ux51fdux6570}{%
\subsubsection{半空间的格林函数}\label{ux534aux7a7aux95f4ux7684ux683cux6797ux51fdux6570}}

在 \(z>0\) 的半空间内的点 \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\) 点存在点电荷，要求
\(G\big|_{z=0}=0\)\\
只需要在 \(P_1=(x_0,y_0,-z_0)\) 放置等量异号电荷。

两者的电势叠加得到：
\[
\begin{aligned}   
G &=\frac1{4\pi}\left(\frac{1}{|P-P_0|}-\frac1{|P-P_1|}\right)   
\end{aligned}   
\]

\hypertarget{ux7403ux57dfux7684ux683cux6797ux51fdux6570}{%
\subsubsection{球域的格林函数}\label{ux7403ux57dfux7684ux683cux6797ux51fdux6570}}

\(P_0\) 是球 \(\Omega=\big\{P\;\big|\;r<R\big\}\) 内的一点，\(P_0\)
到原点的距离为 \(\rho_0\)，球面 \(\partial \Omega\) 上电势为 \(0\)

取 \(P_0\) 关于球面的反演点 \(P_1\)，则 \(|P_1|\cdot |P_0|=R^2\)

假定在球外 \(P_1\) 点处有 \(q\) 个单位异号电荷，则在球面上 \(P\)
点，由三角形相似：
\[
\begin{aligned}   
0 &=\frac1{4\pi}\left(\frac1{|P-P_0|}-\frac q{|P-P_1|}\right),& \forall P\in\partial \Omega\\   
&=\frac1{4\pi}\left(\frac1{|P-P_0|}-\frac q{|P-P_0|\cdot R/\rho_0}\right)   
\end{aligned}   
\] 因此得到 \(q=R/\rho_0\)，则球域的格林函数为
\[
\boxed{   
G=\frac1{4\pi}\left(\frac1{|P-P_0|}-\frac {R/\rho_0}{|P-P_1|}\right)   
}   
\]

\hypertarget{ux7279ux5f81ux7ebfux6cd5}{%
\section{特征线法}\label{ux7279ux5f81ux7ebfux6cd5}}

\begin{quote}
\(u=\mathtt u(\,{\color{gray}\mathtt x_1}\,,{\color{gray}\mathtt x_2}\,)=\mathtt u(x,y)\)
中的 \(u\) 与 \(\mathtt u\) 是不同的：\\
\(u\) 是一个变量，它的值由且只由变量 \(x,y\) 决定，且对应法则为
\(\mathtt u\)\\
\(\mathtt u\) 是一个对应法则，它作用到向量
\((\,{\color{gray}\mathtt x_1}\,,{\color{gray}\mathtt x_2}\,)\)
上并利用各个分量生成新的值作为结果

一般来说，有：
\[
\frac{\partial }{\partial x}u=\frac{\partial}{\partial {\,\color{gray}\!\mathtt x_1}}\mathtt u\bigg|_{{\color{gray}\mathtt x_1}=x}   
\] 通常将
\(\dfrac{\partial}{\partial {\,\color{gray}\!\mathtt x_1}}\mathtt u\)
记作 \(\mathtt u_1\)
\end{quote}

\hypertarget{ux4e00ux9636ux7ebfux6027ux65b9ux7a0bux7684ux7279ux5f81ux7ebfux6cd5}{%
\subsection{一阶线性方程的特征线法}\label{ux4e00ux9636ux7ebfux6027ux65b9ux7a0bux7684ux7279ux5f81ux7ebfux6cd5}}

\hypertarget{ux539fux7406ux7b80ux8ff0}{%
\subsubsection{原理简述}\label{ux539fux7406ux7b80ux8ff0}}

一阶线性偏微分方程：
\[
a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}+c(x,y)u=f(x,y)   
\]

对于 \(u=\mathtt u(x,y)\)，将上式转化为：
\[
a\cdot\mathtt u_1(x,y) +b\cdot\mathtt u_2(x,y) + cu= f   
\] 对平面上的一条固定曲线 \(y=y(x)\) 来说
\(u=\mathtt u\big(x,y(x)\big)\) 只与 \(x\) 有关
\[
\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}=\mathtt u_1(x,y)+\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx} \mathtt u_2(x,y)   
\] 上式与原方程对比，可以取 \(\mathrm dy/\mathrm dx=b/a\) 得到
\(y=\mathtt y_{\tau}(x)\)，其中 \(\tau\) 为积分常数\\
将 \(y=\mathtt y_{\tau}(x)\) 代入 \(b,c,f\)
中，则原方程化为常微分方程：
\[
\frac{\mathrm du}{\mathrm dx}+\frac{c_\tau}{b_\tau}u=f_{\tau}   
\] 解这个常微分方程得到 \(u=\mathtt u_\tau(x)\)

\(u=\mathtt u_\tau(t),\;y=\mathtt y_\tau(t),\;x=t\)
作为参数方程构成了一条空间曲线\\
当 \(\tau\) 变化时此曲线也移动，从而勾勒出解曲面 \(u=\mathtt u(x,y)\)
的形状，也就是：
\[
\left\{\begin{aligned}   
u&=\mathtt u(\tau,t)\\   
y&=\mathtt y(\tau,t)\\   
x&=t   
\end{aligned}\right.   
\] 消去参数 \(\tau,t\) 也就得到了 \(u=\mathtt u(x,y)\) 解析式

\hypertarget{ux4e00ux822cux6b65ux9aa4}{%
\subsubsection{一般步骤}\label{ux4e00ux822cux6b65ux9aa4}}

\hypertarget{ux53d6ux7279ux5f81ux65b9ux7a0bux5f97ux7279ux5f81ux7ebf}{%
\paragraph{取特征方程，得特征线}\label{ux53d6ux7279ux5f81ux65b9ux7a0bux5f97ux7279ux5f81ux7ebf}}

\[
\boxed{   
\frac{\mathrm dx}{a(x,y)}=\frac{\mathrm dy}{b(x,y)}   
}   
\qquad\Longrightarrow\qquad   
y=y_\tau(x)   
\]

其中 \(\tau\) 是积分未定常数，每个 \(\tau\) 对应了一条固定曲线

\hypertarget{ux5316ux5e38ux5faeux5206ux65b9ux7a0bux5e76ux6c42ux89e3}{%
\paragraph{化常微分方程并求解}\label{ux5316ux5e38ux5faeux5206ux65b9ux7a0bux5e76ux6c42ux89e3}}

将 \(y=y_{\tau}(x)\) 代入原式，在这条曲线上，\(a,b,c,f,u\) 均转化为
\(x\) 的一元函数\\
则原方程转化为
\[
\begin{aligned}   
a_\tau\frac{\partial u_\tau}{\partial x}+b_\tau\frac{\partial u_\tau}{\partial x}\frac{\mathrm dx}{\mathrm dy}+c_\tau u_\tau&=f_\tau\\   
2a_\tau (x)\frac{\mathrm d u_\tau }{\mathrm dx}+c_\tau (x)&=f_\tau (x)   
\quad\Longrightarrow\quad u_\tau =u_\tau(x)   
\end{aligned}   
\]

\hypertarget{ux53cdux89e3ux5e76ux6d88ux53bbux53c2ux6570-tau}{%
\paragraph{\texorpdfstring{反解并消去参数
\(\tau\)}{反解并消去参数 \textbackslash tau}}\label{ux53cdux89e3ux5e76ux6d88ux53bbux53c2ux6570-tau}}

在 \(y=y_{\tau}(x)\) 中反解出 \(\tau\)，将其表示为 \(x,y\) 的函数\\
代入 \(u_\tau(x)\) 中，使其重新转化为 \(u=u(x,y)\)

\hypertarget{ux4f8bux9898}{%
\subsubsection{例题}\label{ux4f8bux9898}}

\[
\left\{\begin{aligned}   
&u_t+xu_x=xt\\   
&u\big|_{t=0}=x^2+1   
\end{aligned}\right.   
\]

在某条曲线 \(x=\mathtt x(t)\) 上，将 \(u=\mathtt u (t,x)\) 视为
\(u=\mathtt u(t,\mathtt x(t))\)，则
\[
\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}=\mathtt u_1+\mathtt u_2\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}   
\]

与原方程对比，不妨令 ：
\[
\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=x   
\qquad\Longrightarrow\qquad   
\left\{\begin{aligned}   
&x=c\mathrm e^t\\   
&c=x\big|_{t=0}   
\end{aligned}\right.   
\]

即：取特征线 \(c=x\mathrm e^{-t}\)\\
此时，原方程化为：
\[
\left\{\begin{aligned}   
&\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}=\mathtt u_1(x,t)+x\cdot \mathtt u_2(x,y)=xt=c\mathrm e^t\cdot t\\   
&u\big|_{t=0}=x^2\big|_{t=0}+1=c^2+1   
\end{aligned}\right.   
\]

解得：
\[
u=c(t-1)\mathrm e^t+c^2+c+1   
\] 将 \(c=x\mathrm e^{-t}\) 代回，得到
\(u=x(t-1)+x^2\mathrm e^{-2t}+x\mathrm e^{-t}+1\)

\hypertarget{ux4e00ux9636ux62dfux7ebfux6027ux65b9ux7a0bux7684ux7279ux5f81ux7ebfux6cd5}{%
\subsection{一阶拟线性方程的特征线法}\label{ux4e00ux9636ux62dfux7ebfux6027ux65b9ux7a0bux7684ux7279ux5f81ux7ebfux6cd5}}

\[
\left\{\begin{aligned}   
&a(x,t,u)u_x+b(x,t,u)u_t=c(x,t,u)\\   
&u(x,0)=\varphi(x)   
\end{aligned}\right.   
\]

将原方程视为向量内积：
\[
(a,b,c)\cdot(u_x,u_y,-1)=0   
\]

在 \(x,t,u\) 构成的三维空间中的曲面 \(u=\mathtt u(x,t)\) 即
\(F(x,t,u)=\mathtt u(x,t)-u=0\)\\
在 \((x,t,u)\) 点处的法向量为
\(\boldsymbol n=\Big[\mathtt u_1(x,t),\;\mathtt u_2(x,t),\;-1\Big]\)

这说明 \(\boldsymbol \alpha=(a,b,c)\) 是曲面的切向量，称为特征向量\\
适当选取参数 \(s\) 则以 \((a,b,c)\) 为切向量的曲面
\(\mathtt u(t,x)-u=0\) 满足:
\[
\begin{aligned}   
\frac{\partial x}{\partial s}&=a(x,t,u)\\   
\frac{\partial t}{\partial s}&=b(x,t,u)\\   
\frac{\partial u}{\partial s}&=c(x,t,u)\\   
\end{aligned}   
\]

\begin{quote}
\(F(x,y,z)=0\) 的法向量
\[
\boldsymbol \nabla F=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)   
\]
因此 \(F(x,t,u)=u(x,t)-u\) 在 \((x,t,u)\) 处法向量为
\(\boldsymbol n=\Big[\mathtt u_1(x,t),\;\mathtt u_2(x,t),\;-1\Big]\)

若曲面 \(F(x,y,z)=0\) 可化为参数方程
\(\boldsymbol r=\boldsymbol r(s,\tau)=\big(x(s,\tau),\;y(s,\tau),\;z(s,\tau)\big)\)\\
则它的两个切向量可写为
\[
\boldsymbol r_s(s,\tau)=\left(\frac{\partial x}{\partial s},\frac{\partial y}{\partial s},\frac{\partial z}{\partial s}\right)\\   
\boldsymbol r_v(u,v)=\left(\frac{\partial x}{\partial \tau},\frac{\partial y}{\partial \tau},\frac{\partial z}{\partial \tau}\right)   
\] 
若给定曲面的一个切向量 \((a,b,c)\)，则适当选取 \(s,\tau\) 可以使得
\[
\boldsymbol r_s(s,\tau)=\left(\frac{\partial x}{\partial s},\frac{\partial y}{\partial s},\frac{\partial z}{\partial s}\right)=(a,b,c)   
\]
\end{quote}

在 \(x,t,u\) 组成的三维空间中，初始条件 \(u\big|_{t=0}=\varphi(x)\)
表示为曲面 \(t=0\) 与 \(u=\varphi(x)\) 的交线\\
将其表示为参数方程：
\[
\left\{\begin{aligned}   
x&=\tau\\   
t&=0\\   
u&=\varphi(\tau)   
\end{aligned}\right.
\]

\subsubsection{特征方程组}

由于定解问题有解，曲面 \(u(x,t)-u=0\) 一定包含上述表示初值条件的曲线。\\
那么可以以 \(s,\tau\) 为相互独立的参数来表示曲面\\
假定 \(s=s_0\) 时曲面退化为表示初值条件的曲线：
\[
    \boxed{\begin{aligned}   
        \dfrac{\partial x}{\partial s}=a(x,t,u),\qquad   x&\big|_{s=s_0}=\tau\\   
        \dfrac{\partial t}{\partial s}=b(x,t,u),\qquad\; t&\big|_{s=s_0}=0\\   
        \dfrac{\partial u}{\partial s}=c(x,t,u),\qquad   u&\big|_{s=s_0}=\varphi(\tau)\\   
\end{aligned}}   
\] 上式称为特征方程组

依据特征方程组可以将 \(x,t,u\) 表示为 \(s,\tau\) 的参数方程\\
将参数 \(s,\tau\) 消去即可得到 \(u=u(x,t)\)

\hypertarget{ux4f8bux9898-1}{%
\subsubsection{例题}\label{ux4f8bux9898-1}}

\[
\left\{\begin{aligned}   
&tu_t+xu_x=u\\   
&u(x,1)=f(x)   
\end{aligned}\right.   
\]

特征向量 \(\boldsymbol \alpha=(x,t,u)\)\\
特征方程组
\[
\left\{\begin{aligned}   
    \dfrac{\partial x}{\partial s}=x,\qquad   x&\big|_{s=1}=\tau\\   
    \dfrac{\partial t}{\partial s}=t,\qquad\;\, t&\big|_{s=1}=1\\   
    \dfrac{\partial u}{\partial s}=u,\qquad   u&\big|_{s=1}=f(\tau)\\   
\end{aligned}\right.   
\]

解得
\[
\begin{aligned}   
    x&=\tau \mathrm e^{s-1}\\   
    t&=\mathrm e^{s-1}\\   
    u&=f(\tau)\mathrm e^{s-1}   
\end{aligned}   
\]

消去参数 \(s,\tau\)
\[
u=f(x/t)\cdot t   
\]

\hypertarget{ux4e00ux7ef4ux6ce2ux52a8ux65b9ux7a0bux7684ux7279ux5f81ux7ebfux6cd5}{%
\subsection{一维波动方程的特征线法}\label{ux4e00ux7ef4ux6ce2ux52a8ux65b9ux7a0bux7684ux7279ux5f81ux7ebfux6cd5}}

\[
\left\{\begin{aligned}   
&u_{tt}-a^2u_{xx}=0,&-\infty<x<+\infty,\;t>0\\   
&u(x,0)=\varphi(x)\\   
&u_t(x,0)=\psi(x)   
\end{aligned}\right.   
\]

\hypertarget{ux7279ux5f81ux65b9ux7a0bux4e0eux7279ux5f81ux7ebf}{%
\subsubsection{特征方程与特征线}\label{ux7279ux5f81ux65b9ux7a0bux4e0eux7279ux5f81ux7ebf}}

特征方程：
\[
\boxed{   
\left(\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right)^2-a^2=0   
}   
\]

特征线：
\[
x+at=C_1\\x-at=C_2   
\]

变量代换 \(\xi=x+at,\;\eta=x-at\)，认为 \(u_{\xi\eta}=u_{\eta\xi}\)
\[
\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=-4a^2\frac{\partial^2u}{\partial \eta\,\partial \xi}   
\] 

\subsubsection{通解}

上式两次积分可以得到通解：
\[
\boxed{   
u=f_1(x+at)+f_2(x-at)   
}   
\]

\begin{quote}
\(f_1(x+at)\) 称为左行波，\(f_2(x-at)\) 称为右行波
\end{quote}

代入初始条件中：
\[
f_1(x)+f_2(x)=\varphi(x)\\   
af_1'(x)-af_2'(x)=\psi(x)   
\]

解出 \(f_1(x),f_2(x)\)，得到达朗贝尔公式
\[
    \boxed{
        u=\frac12\big[\varphi(x+at)+\varphi(x-at)\big]+\frac1{2a}\int_{x-at}^{x+at}\psi(\xi)\,\mathrm d\xi 
    }  
\]

注意，上式要求 \(x\) 的范围为 \((-\infty,+\infty)\)

\hypertarget{ux4f8bux98981}{%
\subsubsection{例题1}\label{ux4f8bux98981}}

\[
\left\{\begin{aligned}   
&u_{tt}-a^2u_{xx}=0,&x>0,x-at<0,t>0\\   
&x\big|_{x-at=0}=\varphi(x),&x\ge 0\\   
&u\big|_{x=0}=h(t),&t\ge 0   
\end{aligned}\right.   
\]

通解
\[
u(x,t)=f_1(x+at)+f_2(x-at)   
\]

定解条件
\[
\begin{aligned}   
&\varphi(x)=f_1(2x)+f_2(0)\\   
&h(t)=f_1(at)+f_2(-at)   
\end{aligned}   
\qquad\Longrightarrow\qquad   
\begin{aligned}   
&f_1(x)=\varphi(x/2)-f_2(0)\\   
&f_2(x)=h(-x/a)-f_1(-x)   
\end{aligned}   
\]

得到
\[
u(x,t)=h\left(t-\frac{x}{a}\right)+\varphi\left(\frac{at+x}{2}\right)-\varphi\left(\frac{at-x}{2}\right)   
\]

\hypertarget{ux4f8bux98982ux534aux65e0ux754cux95eeux9898}{%
\subsubsection{例题2：半无界问题}\label{ux4f8bux98982ux534aux65e0ux754cux95eeux9898}}

\[
\left\{\begin{aligned}   
&u_{tt}-a^2u_{xx}=0,&0<x<+\infty,t>0\\   
&u(x,0)=\varphi(x),&0<x<+\infty\\   
&u_t(x,0)=\psi(x),&0<x<+\infty\\   
&u(0,t)=0,&t>0   
\end{aligned}\right.   
\]

进行奇延拓，令初始条件反对称于坐标原点，则端点固定条件变为隐含
